当燃气热水器显示E5错误代码时，可以按照以下步骤进行排查和解决：

检查水温

确保热水器的水温设置在适宜的范围内。

检查水温传感器的设置和是否出现故障，可能需要更换新的传感器。

检查燃气供应

确保燃气供应充足且稳定，检查燃气管道是否畅通，阀门是否开启。

如果燃气供应不足或不稳定，可能导致热水器无法正常工作。此时可以尝试关闭热水器后重新启动，或更换新的燃气阀门或过滤器等部件。

用户所在地的气压状况也不容忽视，若超出允许范围，可能需要调整气压或联系当地燃气公司。

检查电路板

如果以上方法都无效，那问题可能出在电路板上。这就需要请专业人员进行检查和修复。

在专业技术人员完成检测后，若判断为电路板问题，可能需要更换新的电路板或电路控制组件。用户切勿自行修复电路板等电子部件，以避免触电等危险行为。

清理燃烧室和传感器

关闭燃气热水器的电源，打开热水器的外壳，找到燃烧室，使用毛刷或吸尘器清理燃烧室内的灰尘和异物，确保火焰传感器能够正常工作。

检查火焰传感器是否正常，如果损坏，需要更换新的火焰传感器。

检查电源与电路

确保电源连接正常，没有断路或短路的情况。

检查电路板是否受潮或损坏，如果有问题，建议联系专业人员进行维修。

重启热水器

尝试关闭热水器，等待几分钟后再重新开启，看是否能自动清除故障代码。

联系专业维修人员

如果以上方法都无法解决问题，建议联系专业的燃气热水器维修人员进行检查和维修。

在处理E5故障代码时，安全永远是第一位的。用户不应自行拆卸或修理燃气热水器，以免造成危险。